I got back from Belgium, from Ulrike Tillmann lectures. I’m quite glad I went there, I’m still going trough my notes and type them (in polish, it’s far easier for me, because I have ~15 pages of raw notes; I’ll make however an english review of what happened in few days) into a computer.

In this article I’ll be putting links to polish notes from consecutive lectures as I complete writing them.

They are a little bit chaotic, but I’ll answer any questions with pleasure. Also, I’ll put here any comments that I’ll receive by mail from my friends.

1 2 3 (Out of 5)

 

*1*

W oznaczeniach Gamma jest zmienione na G.

Jestesmy zainteresowani przestrzenia moduli M_gn, ktorej punkty odpowiadaja powierzchnia Riemanna genusu g z wycietymi n dyskami wraz z wybrana struktura zespolona (tak sadze – conformal structure to chyba to samo co struktura zespolona).

Precyzyjniej: definiujemy (1) przestrzen Teichmullera T_gn wszystkich struktur zespolonych na powierzhni F_gn genusu g z wycietymi n dyskami, (2) grupe klas map (Mapping Class Group) G_gn jako pi_0(Diff(F_gn)), gdzie Diff(F_gn) to grupa dyfeomorpfizmow F_gn, ktore zachowuja orientacja i sa stale na brzegu. G_gn dziala na T_gn, zatem definiujemy (3) M_gn = T_gn / G_gn.

Hmmm. Cos pokrecilem, bo tak jak ja zdefiniowalem G_gn i T_gn to nie ma dzialania G na T. Caly Diff dziala na T. Ponizej zakladam, ze definicje T i G sa dobre :-)

(Pozniej dowiedzialem sie, ze nic generalnie nie pokrecilem – patrz ponizsze uwagi – Diff i G sa czesto homotopijnie rownowazne i daltego mozna skosntruowac przestrzen Teichmullera dla G, szczegolow nie znam, ale madry czlowiek tak powiedzial.)

Uwagi: (1) G_gn jest skonczenie prezentowalna. Generatory dajace skonczona prezentacje to np. twisty Dehna. Np. G_0,2 = Z, G_1,0 = SL_2(Z) ( “0,2” to jest rurka a “1,0” to torus)
(2) Jest odwzorowanie Diff(F_gn) do G_gn (skladowe spojnosci przechodza na punkty im odpowiadajace) i ono jest homotopijna rownowaznoscia (czyli skladowe spojnosci Diff(F_gn) sa homotop. rownowazne punktom) gdy 2-2g-n0. Argument: n>0 czyli wyjelismy dysk. Jezeli jakis element G_gn zachowuje strukture zespolona na F_gn (chyba G_gn to jest jednak Diff… – a moze chodzi o dzialanie z dokladnoscia do homotopii? Wtedy na mocy (2) bylby sens) to mozemy dolepic dysk (lub dyski) rozszerzyc dzialanie tego dyfeomorfizmu do dyfeomorfizmu powierznni bez brzegu, ktory jest staly na dysku (dyskach) i zachowuje strukture konforemna – a to jest niemozliwe (chyba dlatego, bo taki dyfeomorfizm (tak naprawde holomorfizm) podnosilby sie do holomorfizmu plaszczyzny hiperbolicznej stalego na jakims dysku; Gdy n=0 to stabilizatory sa skonczone.
(3) T_gn jest homeo z R^{6g-6+3n}. UT dawala heurystyczny argument gdy g=0 ale nie zrozumialem

Jest tez inny opis M_gn dla n>=1 i g>1. Mianowicie, dla n>=1 M_gn jest BG_gn (na mocy (2) i (3)). Dla g>1 mamy, jak wyzej napisalem, G_gn = Diff(F_gn) (rownosc homotopijna), wiec BG_gn = BDiff(F_gn), natomiast to jest rowne tak zwanemu M^top_gn.

M^top_gn robimy tak: Bierzemy przestrzen wszyskich mozliwych wlozen F_gn w R^niesk. To jest przestrzen homotopijnie rownowazna punktowi (tw. Whitneya) i dziala na niej Diff(F_gn) (poprzez “reparametryzacje zrodla”) wolno. Iloraz tego dzialania to M^top_gn. Zatem z definicji jest to BDiff(F_gn). Punkty M^top mozna utozsamiac z podrozmaitosciami R^niesk (oczywiscie). Zatem to jest “intuicyjna” przestrzen moduli.

Uwazka: twierdzenie Whitneya mowi tak naprawde, ze przestrzen wlozen dowolnego zrodla w R^niesk jest homotopijnie trywialna. (Nie jest to twierdzenie trywialne: nietrudno sie przekonac, ze dla zrodla rownego dwom punktom sprowadza sie do sciagalnosci S^niesk.)

Powyzsze uwagi pokazuja tez, ze (dla n>=1 i g>1) pierscien kohomologii M_gn to pierscien kohomologii BDiff(F_gn), a to jest pierscien klas charakterystycznych wiazek o wloknie F_gn. Filozoficznie to jest fajne: klasy charakterystyczne wiazek o wloknie F to kohomologie przestrzeni moduli “wszystkich F-ow”.

Homer-Ivanov udowodnili, ze H*BG_gn jest niezalezne od g,n gdy (mozliwe, ze zle spisalem) *niesk} G_g{g,1}. (Granica jest wzieta poprzez wiadome wlozenie F_{g,1} –> F_{g+1,1}.

Miller-Morita udowodnili, ze H*BG_niesk stensorowane z Q zawiera pierscien wielomianow Q[K_1, K_2,…] gdzie K_i sa pewnymi elementami stopnia 2i.

Hipoteza Mumforda: Tak naprawde jest rownosc: H*BG_niesk tensor Q = Q[K_1, K_2,…]. Zostala udowodniona przez Madsena i Weissa.

Dalej mozliwe, ze cos mocno pokrece.

Zmieniamy troche temat. C(X) to kategoria strun w X – jej obiekty to niesparametryzowane zbiory okregow w X a morfizmy to niesparametryzowane kobordyzmy miedzy dwoma danymi zbiorami okregow. To ma motywacje fizyczne (ktorych, poza najprostszym “te petle maja zastapic czastki i wtedy wszystko podobno ma szanse byc bardzie elegancko” nikt chyba nie jest w stanie wyjasnic :-( ). Wielcy tego swiata z idei fizycznych wydestylowali, ze mozemy badac C_d(X). Wydaje mi sie, ze UT powiedziala, ze ze wzgledow technicznych wygodnie patrzec na obiekty tej kategorii jak na d-wymiarowe niesparametryzowane podrozmaitosci w R^niesk wraz z odwzorowaniem do X, podobnie morfizmy to kobordyzmy (niesparametryzowane) w R^niesk wraz z odwzorowaniem do X. Chyba ze wzgledow technicznych Bedziemy rozwazac tez C_d'(X) – podkategorie C_d(X) w ktorej dopuszczalne morfizmy sa tylko takie, ktore maja niepusty cel. (W orginale C_d'(X) jest oznaczane C_{d, d krecone}(X)).

Wielkie twierdzenie mowi, ze BC_d(X) jest homotopijnie rownowazne Omega^{niesk-1} (G_{-d} dziobek X_+). UT powiedziala na razie tylko, ze ta Omega to dobrze znany i rozumiany obiekt. G w nawiasie jest grube i nie ma chyba nic wspolnego z G_gn lub G_niesk powyzej. Z tego twierdzenia podobno juz nietrudno wynika hipoteza Mumforda (w nawiasie w notatkach dopisalem sobie “bo Z x BG_niesk ma kohomologie jak Omega(C_2′)” – nic nie rozumiem). (kilka dni pozniej juz w W-wie przypominam sobie, ze nawias to jest nietrywialna czesc twierdzenia, by Ulrike Tillmann)

Mamy funktor “kwantowej teorii pola” z przestrzeni topologicznych do “Graded Abelian Groups”, ktory przestrzeni X przyporzadkowuje QF^d_*(X) := pi_{*+1} (BC_d(X)). Nierozumiem za bardzo co bada B od kategorii (tak naprawde to nie mam tez intuicji co do B od grupy) wiec tym bardziej nie rozumiem tego funktora. (dopiesek pozniejszy: jezeli tw. Whitneya dziala naprawde dla kazdego zrodla to chyba zaczne myslec o BG jako o przestrzeni wszystkich wlozen G w R^niesk). W kazdym razie, powyzsze wielkie twierdzenie podobno mowi m.in., ze ten funktor jest uogolniona teoria kohomologii. UT powiedziala, ze “it might be a little bit surprising” (bo w takim razie ten funktor jest wyliczalny)

Byla zajawka dowodu rownowaznosci BC_d(X) = Omega^{niesk-1}…, ale na ostatnim wykladzie bylo to przedstawone lepiej, wiec na razie nic nie napisze.

Jako rzeczy, z ktorych korzysta sie w pelnym dowodzie UT wymienila tw. Phillipsa o submersji: Niech M bedzie otwarta podrozmaitoscia (co to znaczy??? jest zbiorem otwartym w jakims R^M?). Jezeli mamy odwzorowanie f:M–>X i jakiekolwiek “nakrycie” tego odwzorowania F: TM –> TX ktore jest submersja to mozemy (f,F) zamienic na homotopijnie rownowazne (g,Dg) dla jakiegos g.

(Lubie to twierdzenie, bo umiem je zapamietac :-) Trudne jest ono?)

Inny ingredient to klasyczna teoria kobordyzmu. Taki napis sie pojawil: Omega_d = pi_d(Omega^niesk MSO), gdzie Omega_d to d-wymiarowe rozmaitosci z dokl do kobordyzmu, a MSO to spekturm Thoma.

Uwaga na koniec: my zajmujemy sie caly czas niezwartymi przestrzeniami moduli. Badanie uzwarcen jest trudniejsze (jest to mniej wiecej teoria niezmiennikow Gromova-Wittena), ale imc Galatius ma program, ktory w zamierzeniu przenosi czesc teorii niezwartych przestrzeni moduli na przypadek zwarty.

Chetnie zobaczylbym jakies odpowiedzi na takie pytania:
1) Chcialbym nauczyc sie rozumiec napisy postaci Omega^niesk, spektrum, itp. Jak to zrobic? (tego typu napisy to byla chyba najwazniejsza rzecz, ktorej nie znalem)
2) Co dokladnie z ta przestrzenia Teichmullera? Powiedzmy, ze grupa G dziala wolno na przestrzeni sciagalnej X i ze G jest homotopijnie rownowazna jakiemus swojemu ilorazowi – jak skonstruowac przestrzen sciagalna Y na ktorej ten iloraz wolno dziala?
3) Gdzie znajde tw. Phillipsa o submersji?
4) Zawsze chetnie uslysze jakiekolwiek komentarze fizyczne. W szczegolnosci: co kwantowa teoria pola mowi fizykom?

*2*

Przeglad Teorii Pola
(|_| oznaczac bedzie zawsze rozlaczna sume)
(na koncu sa pytania)

CFT – Conformal Field Theory (matematyczne sformulowanie – chyba G. Segal). Dzialamy w kategorii Segala S, ktorej obiekty to C_n, n=1,2,…, n-tki okregow: C_n := S^1 x {1,2,…,n}. Morfizmy: element Mor (C_n, C_m) to powierzchnia Riemanna wraz z wybrana struktura zespolona i mapowanie brzegu na C_n |_| -C_m , skladanie to sklejanie powierzchni (czyli trzeba tu pare rzeczy posprawdzac, np. ze struktury zespolone mozna jakos sensownie skleic). Do danych, ktore tworza kategorie Segala nalezy jeszcze “struktura monodalna” (“monodal structure”) – tzn. (jak zrozumialem) musimy wybrac produkt tensorowy, wybieramy sume rozlaczna.

Uwazka: Mor(C_0,C_0) = duza podwojna suma rozlaczna po M_{g_i}0 (suma przestrzeni moduli z poprzedniej czesci notatek).

CFT to funktor monoidalny (czyli ma zachowywac produkty tensorowe) (S, |_|) –> (Vect/C, tensor).

(Jest tu jeszcze jakis myk – UT przemknela sie nad tym ale ktos z publiki ja drazyl – zdaje sie, ze ten funktor ma byc topologiczny, tzn. on ma uwzgledniac topologie w zbiorach morfizmow. Nie jestem pewien, patrz nizej)

Podobno taki funktor jest trudny ale “well understood in terms of Kac-Moody algebras & loops groups & …”

20 lat temu Segal patrzyl na kategorie S(X), gdzie X jest symplektyczny ze str. prawie zespolona. Obiekty to elementy map(C_n, X) a morfizmy miedzy dwoma mapami u oraz v to pary (K, psi) gdzie K jest morfizmem w S miedzy zrodlem u i zrodlem v a psi jest prawie-holomorficznym odwzorowaniem K–> X, ktore obcina sie do u i v tam gdzie powinno.

Monoidalny funktor (S(X), |_|) –> (Vect/C, tensor) nazywamy “obiektem eliptycznym”. Podobno jest to “way to give geometric meaning to elliptic cohomology”.

(Tu myk jest wiekszy, bo obiekty kategorii maja naturalna strukture topologiczna, a w Vect takiego czegos nie ma – wobec tego ten funktor nie idzie tak naprawde do Vect tylko raczej do jakiegos rodzaju grassmanianu)

Klasyczna teoria pola: kategoria to P(X) – paths w X. Obiekty to punkty X, morfizmy to odwzorowania [0,t] –> X, ktore zaczynaja sie i koncza tam, gdzie trzeba. Klasyczna teoria pola to funktor E: P(X) –> Vect/C (z mykiem jak wyzej). Zdaje sie, ze slyszalem, ze przykladem jest wiazka nad X z koneksja. Nie rozumiem jaki to ma zwiazek z klasyczna teoria pola w ujeciu Lagrangianowym. E daje nam BE: BP(X) –> B(Vect/C). BP(X) jest homotijnie rownowazne X (nie wiem czemu, ale to chyba jest “klasyczne”), wiec dostajemy odwzorowanie z X do rozlacznej sumy BGL_n. UT cos zaczela mowic o zwiazkach z K-teoria, nie zrozumialem. O fizyce nie mowila.

UT kazala chyba na BP(X) patrzyc jak na motywacje do badanie BS(X) (i wielowymiarowego odpowiednika S(X) ). Okaze sie pozniejm, ze BS(X) jest homotopijnie rownowazne Omega^niesk(G_{-2} dziobek X_+), ktore konstruuje sie za pomoca grassmannianow.

Teraz cos prostego: TFT, topologiczna teoria pola. Fizycznie malo znaczaca, ale wymyslil ja Witten w nadzieji, ze w dobrym przyblizeniu bedzie opisywala pola “o malych energiach, widziane z duzej odleglosci”. Kategoria nazywa sie Cob_d. Obiekty to klasy dyfeomorfizmow zamknietych zorientowanych rzmaitosci wymiaru d-1, morfizmy to klasy dyfeomorfizmow kobordyzmow. W szczegolnosci Cob_2 = pi_0(S) w odpowiedni sensie (obiekty te same co S, morfizmy w S miedzy dwoma obiektami tworza jakas przestrzen topologiczna, dla utworzenia morfizmow miedzy tymi dwoma obiektami w Cob_2 bierzemy pi_0 tej przestrzeni. Skladanie morfizmow dostajemy stosujac pi_0 do skladania morfizmow (gdzie “skladanie morfizmow” to funkcja miedzy produktem dwoch przestrzeni topologicznych a trzecia przestrzenia topologiczna).

Topologiczna Teoria Pola to monoidalny funktor E: (Cob_d, |_|) –> (Vect/C, tensor). I tu akurat chyba nie ma myku (ale moze jest :-).

Twierdzenie Folha: W wymiarze d=2 Topologiczne Teorie Pola sa w bijekcji ze skonczonie-wymiarowymi algebrami Frobeniusa nad C (alg A jest alg. Frobeniusa jesli posiada “1” i funkcje Tr: A –> C, ktora ma te wlasnosc, ze parowanie <x,y> :=Tr(xy) jest niezdegenerowane).

Idea: E(S^1) jest zatem przestrzenia wektorowa. To bedzie nasza algebra A. Poniewaz funktor jest monoidalny to dwa okregi przerzuca na A tensor A. Zatem przerzuca morfizm “majtki” na morfizm A tensor A –> A, to jest mnozenie w naszej algebrze.

(Jest przemienne, bo interesuje nas tylko typ dyfezomorfizmu, A morfizm “dwie skrzyzowane rury” przechodzi na automorfizm A tensor A – wydaje mi sie, ze jeden gosc powiedzial, ze trzeba dodatkowo zalozyc, ze ten automorfizm to jest “switching”, UT przez chwile chyba mowila, ze to wynika z aksjomatow, nie wiem jak to sie skonczylo. Byc moze zatem trzeba zalozyc, ze TFT to monoidalny _symetryczny_ funktor.). (update: ten gosc do konca twierdzil, ze trzeba zalozyc, ze “ten automorfizm to jest “switching””. to chyba sensowne, bo inaczej nie widze przeszkod, zeby zalozyc, ze dwie skrzyzowane rury przechodza np. na “graded commutative switching”)

Poniewaz funktor jest monoidalny to przerzuca zbior pusty na C, zatem morfizm czapka i odwrocona czapka na morfizmy C –> A i A –>C. Pierwszy to jest nasz trace, drugi to jedynka. To, ze dostalismy algebre z jedynka i morfizmem Tr widac “od razu”. Pomyslu wymaga tylko sprawdzenie, ze Tr jest niezdegenerowany. Trzeba sprytnie wykorzystac morfizm genusu 0 ze zbioru pustego do dwoch okregow (i zauwazyc, ze < , > to obraz morfizmu genusu 0 z dwoch okregow do zbioru pustego i ze wszystkie morfizmy dyfeomorficzne z rurka sa identycznoscia, wiec przechodza na identycznosc). Nie jest to bardzo trudne, ale wymaga zrobienia rysunku.

Przyklad algebry Frobeniusa: gdy mamy zwarta rozmaitosc M to A = H*(M, C) (z kub-produktem), Tr = calka.

Ostatnia teoria pola to TCFT – Topological Conformal Field Theory. Kategoria,w ktorej pracujemy to C_{*}S. Obiekty to znowu skonczone zbiory okregow, morfizmy to C_{*}(morph S), gdzie S jest kategoria Segala a C_{*} to funktor brania lancuchow singularnych (morph S to przestrzen topologiczna wiec ma to sens – porownaj powyzszy paragraf “Teraz cos prostszego…”)

TCFT to monoidalny funktor E: (C_{*}S, |_|) –> (kompleksy lancuchowe, tensor). Taki funktor indukuje (H_{*}S, |_|) –> (zgradowane przestrzenie wektorowe, tensor).

W S jest podkategoria “drzew” P, obiekty takie same jak S, morfizmy to powierzchnie genusu 0 ktore maja dokladnie jeden wychodzacy okrag w kazdej skladowej spojnosci. Dla H_{*}P istnieje czesciowy analog twierdzenia Folha:

(Uwazka moja: jasne, ze kategoria H_{*}P jest duzo latwiejsza niz P, bo morfizmy w tej pierwszej maja szanse tworzyc skonczenie-wymiarowe przestrzenie liniowe, a w tej drugiej morfizmy sa punktami pewnych rozmaitosci)

Twierdzenie Getzbera: Funktor E: (H_{*}P, |_|) —> (Zgradowane prz. wekt., tensor) nadaje strukture BV-algebry na E(S^1).

BV-algebra to twor duzo bardziej skomplikowany niz algebra Frobeniusa (nazwa pochodzi od nazwisk: ?Batnahu?-?). Nie musi byc chyba laczna, maja byc operacje mnozenia, trojkatu i nawiasu, ktore spelniaja pewne zaleznosci. D-d jest trudniejszy niz twierdzenia Folha bo teraz zeby okreslic *, trojkat i nawias trzeba brac elementy homologii pewnych przestrzeni moduli. Dokladniej, * to generator 0wych homologii przestrzeni moduli pow. Riemanna genusu 0, z dwoma dziurami wejsciowymi i jadna dziura wyjsciowa; trojkat to generator pierwszych homologii przestrzeni moduli rurki. Nawias jest trudniejszy: jest to pewien element pierwszych homomologii tej samej przestrzeni co dla *, okreslony przy uzyciu twistow Dehna tej przestrzeni (ma to sens, bo twisty Dehna sa elementami odpowiedniej grupy klas map G, zatem okreslaja petle w BG, a te daja elementy homologii BG (a BG to odpowiednia przestrzen moduli).

Rozszerzenie tego twierdzenie (to chyba tw. Tillmann?): Jezeli funktor E: H_{*}P –> Zgradowane prz. wekt. podnosi sie do H_{*}S to t^3 [x,y]=[t^3x,y]=0 oraz Trojkat(t^3 *x) = t^3*Trojkat(x), gdzie
t (tak zwany propagator) to generator zerowych homologii przestrzeni moduli powierzchni genusu 1 z jedna dziura wejsciowa i jedna dziura wyjsciowa. Idea dowodu pojawila sie na nastepnym wykladzie, bardzo chcialbym ja zrozumiec (bo pracujemy w homologiach morfizmow! Wydaje mi sie w tej chwili, ze jest to zupelnie inny poziom trudnosci niz w przypadku tw. Folha), wiec moze jeszcze napisze.

Z tego twierdzenia plynie wniosek, ze gdy t jest odwracalne to struktura BV-algebry jest trywialna (tzn. trojkat =0, nawias=0). Ciekawe skad pochodzi nazwa propagator (wymyslili ja chyba fizycy)?

Pytania:
1. Jaki jest zwiazek kategorii drog na rozmaitosci P(X) i funktora klasycznej teorii pola z klasyczna teoria pola w sensie minimalizacji lagrangianu?
2. Co fizycznie oznacza propagator (element t z przedostatniego paragrafu)?

*3*

(H oznacza funktor brania homologii, H* – kohomologii)
(na koncu sa pytania)

Poczatek wykladu sluzyl wprowadzeniu pojecia operadu. To pojecie bylo dla mnie nowe i musialem sie douczyc po wykladzie. Polecam artykul w wikipedii oraz artykul Johna Baeza: http://math.ucr.edu/home/baez/week220.html
Lubie krotkie definicje (gdy juz zrozumiem dlugie), najkrotsza jest taka: operad to multikategoria z jednym obiektem. Jest to jednak male oszustwo: John Baez na taki operad mowi “planar operad” a “prawdziwy operad” to dla niego (i dla UT tez) planar operad z dzialaniem grupy permutacji (jezeli nie wiesz o czym mowa to koniecznie odwiedz strone Baeza – sa tam odpowiednie rysunki).

Troche dluzsza definicja jest taka: operad to kategoria z produktem, ktorej obiekty to liczby naturalne ( z zerem), produkt na obiektach jest dodawaniem, a morfizmy sa postaci n –> 1 i produkty takich (morfizm id_n to produkt n morfizmow id_1).

Najdluzsza (i najjasniejsza) definicja jest taka: operad E to nastepujace dane: zbiory E_n (nalezy o nich myslec jak o zbiorach operacji, ktore przyjmuja n argumentow i zwracaja jeden) na ktorych dzialaja n-te grupy permutacji (“zmiana kolejnosci argumentow”), wyrozniony element 1 in E_1 oraz funkcje E_n x E_{k_1} x … x E_{k_n} –> E_s (gdzie s to suma wszystkich k_i) – skladanie operacji – ktore spelniaja aksjomat lacznosci i dobrego zachowywania sie z wyroznionym elementem.

Acha: E_n nie musza byc zbiorami – wystarczy, ze sa elementami jakiejs kategorii z produktem (monoidal category). My bedziemy glownie zainteresowani operadami w Top z produktem kartezjanskim. Do operadu mozna przylozyc funktor zachowujacy produkt i otrzymac inny operad – my bedziemy zainteresowani przykladaniem funktora kompleksow singularnych (dostajemy operad w kompleksach lancuchowych z produktem tensorowym) i funktora homologii (dostajemy operad w zgradowanych przestrzeniach wektorowych z produktem tensorowym)

Przyklad operadu: Na stronie Baeza jest dosc dokladnie opisany operad Lie odpowiadajacy operacjom w algebrze Lie. Operad Ass odpowiadajacy lacznej operacji mozna (chyba) opisac tak: zbior Ass_k to {planarne drzewa z korzeniem i k liscmi o 3walentnych wewnetrznych wierzcholkach wraz z numeracja lisci}/~, gdzie ~ to relacja utozsamiajaca wszystkie drzewa o k lisciach z ta sama numeracja. Skladanie operacji to sklejanie drzew. (gdy zapomniec o relacji to mamy operad Bin odpowiadajacy ogolnej operacji binarnej. Istnieje odwzorowanie operadow Bin –> Ass. Odwzorowanie operadow najprosciej zdefiniowac jako funktor miedzy odpowiednimi multikategoriami lub kategoriami).

Teraz, gdy mamy konkretny zbior X z laczna operacja to mozemy utworzyc kategorie, ktorej obiekty to X x X, X x X x X, itd. a morfizmy sa generowane przez laczna oepracje. Mamy oczywisty funktor z Ass do X.

Jezeli mamy operad C w jakiejs ustalonej kategorii z produktem (tzn. C_n sa obiektami tej kategorii) to mozemy mowic o C-algebrze: C-algebra to obiekt X wraz z morfizmami T: C_n “x” X^n —> X, gdzie “x” oznacza produkt wydzielony przez dzialanie grupy permutacji (na pierwszym skladniku z definicji operadu na drugim “componentwisely”). Byc moze cos trzeba zalozyc o kategorii dodatkowego, zeby taki “x” zawsze istnial. Morfizmy te maja byc kompatybilne ze skladaniem operacji w operadzie. UT nie sprecyzowala tego, ale najprawdopodobniej chodzi o to, ze mozna najpierw zlozyc dane operacje i wykonac T lub wykonac dwa razy T.

Pierwszy operad jaki UT zdefiniowala to “operad moduli”, oznaczany S. S_n to zbior (suma rozlaczna po wszystkich g>=0 przestrzeni moduli M_g{n+1}), gdzie n+1 w indeksie oznacza n wchodzacych dziur i jedna wychodzaca. Znow jest problem jak poprzednio: jak skladac operacje (trzeba zadac jakos strukture zespolona): wydaje mi sie, ze UT powiedziala, ze nalezy uzywac kolnierzykow. (W tym przykladzie lepiej powiedziec, ze S_n to nie zbiory tylko obiekty kategorii Top.) Nie jest dla mnie jasne, jak zdefiniowac dzialanie grupy permutacji na tym operadzie. Widze dwie mozliwosci: albo wejsciowe dziury sa jakos numerowane (bardziej sie przychylam) albo dolepiane sa jakies permutujace rurki, ale tu trzebaby jakos wybrac strukture zespolona na tych rurkach i raczej w ten sposob dastalibysmy grupe warkoczy.

Nastepny przyklad to (wedlug Baeza jest to pierwszy wymyslony przez ludzkosc operad, by Peter May) “operad malego d-dysku” (little d-disk operad), oznaczany D^d. Ustalmy dysk jednostkowy B. D^d_n to zbior takich wlozen Phi skonczonej ilosci ponumerowanych rozlacznych kopii B w B, ktore obciete do konkretnego komponentu sa okreslone przez srodek obrazu i jego promien. Skladanie jest okreslone w jedyny mozliwy sposob (wymagajacy narysowania obrazka, patrz artykul Baeza, choc on akurat ma wersje “little d-cube operad”)

Potem byly przyklady algebr nad operadami. Pierwszego nie zrozumialem: mamy dowolny operad C w jakiejs kategorii, ktorej obiekty to zbiory. Jezeli mamy jakis obiekt Z tej kategorii z wyroznionym punktem *, to mozemy utworzyc wolna C-algebre generowana przez Z: C(Z) = |_| C_n “x” Z^n/~. Smar rozlaczna jest po wszystkich n, “x” oznacza produkt wydzielony przez grupe permutacji. Relacji nie zrozumialem, nie wiem po co jest wyrozniony punkt. W dodatku potem napisalem, ze dla operada modul wyrozniony punkt to czapka in M_0,1 pomiedzy zbiorem pustym a jednym okregiem. Nic nie rozumiem.

Konkretniejszy przyklad jest taki: przestrzen topologiczna, ktora jest druga przestrzenia petli nad czyms z wyroznionym punktem:: X =Omega^2(Y,*). W takiej sytuacji X jest algebra nad operadem malego 2-dysku. Rzeczywiscie, X to przestrzen Map((D^2,S^1), (Y,*)). Trzeba powiedziec jak ustalony element operadu – czyli wlozenie kilku “malych” dyszczkow w “duzy” dysk – dziala na kilku takich mapach: dziala mianowicie tak, ze zwraca mape z “duzego” dysku do Y, ktora wszystko co nie jest w “malych” dyszczkach pakuje w wyrozniony punkt a na malych dyszczkach zachowuje sie tak jak mapy na ktorych dzialamy. Rysunek czyni cuda – patrz strona Baeza.

Twierdzenie Getzbera z poprzedniego wykladu mozna wyslowic w jezyku operadow mniej wiecej tak: Nadanie struktury H_{*}P-algebry ustalonej zgradowanej przestrzeni wektorowej A_{*} jest rownowazne nadaniu tej przestrzeni struktury BV-algebry.

Podobnie rozszerzenie Ulriki Tillmann: Jezeli dana struktura HP algebry podnosi sie do struktury HS algebry to odpowiedni element t (patrz poprzedni wyklad) spelnia t^3[x,y]=0 dla wszystkich x,y (itd. – patrz poprzedni wyklad) (czyli “t^3 anihiluje nawias”)

(UWAGA: Piszac poprzednie notatki sadzilem, ze t to element algebry (nie napisalem tego, ale tak sadzilem: napisalem w pewnym momencie t^3 *x) – tak nie jest, t to oczywiscie morfizm tej algebry.)

Pojawil sie dowod powyzszego faktu Ulriki T.: dla przypomnienia, t to wartosc funktora na elemencie (generatorze) zerowych homologii przestrzeni moduli X powierzchni genusu 1 z jedna dziura wejsciowa i jedna dziura wyjsciowa; nawias to wartosc funktora na elemencie pierwszych homologii przestrzeni moduli Y powierzchni genusu 0 z dwoma dziurami wejsciowymi i jedna dziura wyjsciowa, generowany przez twist Dehna wokol dziury wyjsciowej. Mamy odwzorowanie H(X)xH(Y)xH(Y)xH(Y) = H(X x Y^3) –> H(Z), gdzie Z to przestrzen moduli powierzchni genusu trzy z dwoma dziurami wejsciowymi i jedna dziura wyjsciowa. Na mocy okreslenia odwzorowania X x Y^3 –> Z, interesujacy nas element H(Z) to element H_1(Z) generowany przez twist Dehna “pomiedzy” dwoma dziurami wejsciowymi a pierwszym otworem (otwor to jest to, czego torus ma jeden a sfera zero :-). Ale z drugiej strony mamy wlozenie Z –> Z’, gdzie Z’ to przestrzen moduli pow. takich jak dla Z ale z zalepionymi wejsciowymi dziurami. Jasne, ze interesujacy nas twist Dehna przechodzi przy tym odwzorowaniu na zero, a z drugiej strony, na mocy twierdzenia o stabilnosci Homera-Ivanova, na H_1 to odwzorowanie jest izomorfizmem.

Wracajac na chwile do operada malego dysku, mamy nastepujacy, klasyczny wg UT, rezultat (odwrocenie przykladu powyzej): Jezeli X jest D^d algebra a pi_0(X) jest grupa to X jest Omega^d(Y) dla pewnego Y. Nie rozumiem tego: co to znaczy, ze pi_0 jest grupa (w naturalny sposob)?

Potem pojawily sie jakies tabelki operadow, nic wtedy nie rozumialem, bardzo zaluje, bo padaly ciekawe slowa (grupa warkoczy i cos w stylu “grupa warkoczy z dziurami” – tak zapisalem, ale nei wiem o co chodzilo). W pierwszym rzedzie tabelki byl zbior C_n danego operadu (czyli w kolejnosci: D^2_n, P_n, S_n i D_n^niesk (nie wiem co to jest)), w drugim rzedzie bylo napisane pi_1(C_n) i tu byly powyzsze dziwne grupy, w trzecim wierszu byl iloraz homotopijny C_n przez dzialanie grupy permutacji (niestety nie wiem, czym jest iloraz homotopijny – bardzo chetnie bym sie dowiedzial)

Uwaga: nietrudno wyobrazic sobie, ze pi_1(D^2_n) to faktycznie jest n-ta grupa warkoczy, ktore “zaczynaja sie i koncza tak samo”.

Z tego wszystkiego mialo wynikac – a moze byla to niezalezna uwaga? – ze “istnieja modele operadow z odwzaraniami D^2 –> P –> S –> D^niesk odpowiadajacymi mapom na pi_1”. (Po wykladzie padlo pytanie jak sie konstruuje odwzorowanie S –> D^niesk wiec byc moze nie wszystko bylo oczywiste (odpowiedzi nie zrozumialem))

Mam jeszcze jakies pol strony notatek,, ale nic sensownego z nich juz nie wynika.

Pytania:
1) dzialanie grupy permutacji na operadzie S?
2) Wolna algebra nad operadem
3) Homotopy quotient